Psicometria (22/27): Analisi della varianza univariata: disegni fattoriali

I disegni fattoriali sono quei disegni d'analisi della varianza in cui ci sono 2 o più variabili indipendenti, delle quali si misura l'effetto sulla variabile dipendente.
I disegni fattoriali consentono lo studio dell'interazione, dell'effetto congiunto delle VI sulla VD, aumentano inoltre la potenza dei test, ovvero la probabilità di rilevare la presenza di un effetto, e consentono anche di risparmiare sul numero dei soggetti da osservare.

Effetti principali ed interazioni
Ci sono 2 tipi di effetti nei disegni fattoriali: l'effetto principale è l'effetto medio di una variabile indipendente su quella dipendente, indipendentemente dagli altri valori delle altre VI, mentre l'interazione si ha quando 2 variabili interagiscono se l'effetto di un VI sulla VD non è lo stesso per tutti i livelli delle altre VI.
Negli effetti principali, le ipotesi stastistiche riguardano le differenze tra medie, mentre nell'interazione si formulano ipotesi che riguardano le differenze tra medie nelle diverse combinazioni di condizioni sperimentali.
Nel caso degli effetti principali si ipotizza l'uguaglianza tra medie, nelle interazioni si ipotizza l'uguaglianza tra differenze tra medie.
Quando si rappresenta graficamente la combinazione dei valori di due variabili, se si hanno 2 linee che si sovrappongono o che sono parallele, allora non c'è interazione (o non è significativa), se invece le linee non sono parallele, allora potrebbe esserci interazione tra variabili.
Alcuni studiosi ritengono che i test sugli effetti principali possono essere interpretati anche in caso di interazione significativa, a patto che la grandezza dell'effetto (effect size) ad essa associata sia scarsa, invece, gli effetti principali possono essere molto fuorvianti quando c'è un'interazione significativa di entità non trascurabile, cioè quando la grandezza dell'effetto associata all'interazione è medio-alta.

Disegni fattoriali tra soggetti (between subjects)
In questo tipo di disegno i soggetti vengono assegnati ad ognuna delle singole celle, e quindi ogni soggetto è esposto solo ad una particolare combinazione delle condizioni sperimentali.
Nel modello teorico dei disegni fattoriali tra i soggetti, se si ha un disegno fattoriale con 2 fattori F1 e F2, il modello dell'anova prevede che il punteggio y_ijk di un soggetto k contenuto nella cella ij sia scomponibile così: y_ijk=µ+a_i+ß_j+F_ij+e_ijk
Inoltre:
a_i=µ_i-µ è l'effetto principale di F1
ß_j=µ_j-µ è l'effetto principale di F2
F_ij=µ_ij-µ(a_i+ß_j) è l'effetto dell'interazione
e_ijk è l'errore residuale
Devianza totale: SS_T=S_iS_jS_k(y_ijk-y^-)² [n-1 gdl]
Devianza dell'effetto principale di F1: SS_F1=S_iS_jS_k(y^-_i-y^-)² [k1-1 gdl]
Devianza dell'effetto principale di F2: SS_F2=S_iS_jS_k(y^-_i-y^-)² [k2-1 gdl]
Devianza dell'interazione: SS_F1XF2=S_iS_jS_k(y^-_ij-y^-_i-y^-_j+y^-)² [(k1-1)(k2-2) gdl]
Devianza residua: SS_w=S_iS_jS_k(y_ijk-y^-_ij)² [n-k1k2 gdl]

Analisi dei disegni fattoriali
Nell'analisi degli effetti principali, i disegni con fattori a 2 livelli con la presenza di un effetto principale hanno una differenza significativa tra le medie marginali relative al fattore in questione, mentre se il fattore prevede più di 2 livelli, l'effetto principale comporta che almeno 2 delle medie marginali dei gruppi confrontati saranno significativamente diverse, ma non si sa però quali.
Per sapere quali sono le medie che differiscono bisogna fare dei confronti pianificati o dei confronti post hoc.
Nell'analisi dell'interazione, un'interazione significativa, soprattutto in presenza di fattori con più di 2 livelli, comporta che si devono effettuare delle ulteriori analisi per identificare quali combinazioni hanno causato l'interazione.
Un modo efficace d'analisi di questi fattori è l'analisi degli effetti semplici, che consiste nell'esame dei valori della VD associati ai valori di un VI, quando i valori dell'altra VI sono tenuti costanti.
Il disegno fattoriale viene semplificato effettuando tanti disegni monofattoriali quanti sono i livelli della VI mantenuta costante, e se c'è interazione significa che gli effetti semplici relativi ad una VI sono diversi nei differenti livelli della VI che viene controllata.
Gli effetti semplici consentono quindi di evidenziare l'effetto di modulazione che una VI ha sulla relazione tra un'altra VI e la VD, mentre l'analisi degli effetti principali annulla questo effetto.
I risultati ottenuti con gli effetti semplici non sono gli stessi che si otterrebbero se si analizzassero separatamente attraverso disegni monofattoriali l'effetto del primo fattore attraverso i diversi livelli del secondo.
Gli effetti semplici combinano infatti nella giusta maniera l'informazione desumibile dal test omnibus per esaminare ipotesi precise sull'interazione significativa.

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