Psicometria (3/27): La regressione multipla

Nella regressione multipla si ha una variabile dipendente che regredisce su almeno 2 variabili indipendenti.
L'equazione della regressione multipla è la seguente: Y'=a+ß₁X₁+ß₂X₂+.....ß_nX_n
A questa equazione va aggiunto l'errore e.
Graficamente, con 2 variabili indipendenti si ha un piano di regressione, con più di 2 invece si ha un'iperpiano.
L'equazione che definisce il piano di regressione è la seguente: Y'_i=a+ß₁X_1i+ß₂X_2i
I coefficienti di regressione rappresentano l'inclinazione della retta di regressione della variabile dipendente, ottenuta mantenendo costanti le variabili indipendenti dell'equazione di regressione multipla.

Le stime dei coefficienti dell'equazione di regressione vengono fatte con il metodo dei minimi quadrati ordinari, dove prima si deve individuare un piano o un iperpiano di dimensioni k (k>1) che si adatti meglio ai punti dispersi in uno spazio di dimensioni k+1 (k variabili indipendenti e 1 dipendente).
Il metodo dei minimi quadrati ordinari è definito dall'espressione :



Dove applicando il calcolo differenziale e l'espressione matriciale delle equazioni si ricavano:
Y=bX+e (equazione di regressione)
b=(X'X)^-1X'Y (coefficienti di regressione)
e=Y-Xb (residui)
Dove:
X è una matrice che contiene i valori delle variabili indipendenti di dimensione N per (K+1), dove N=numero di soggetti e K=numero di variabili indipendenti.
Y è un vettore di dimensioni N per 1 che contiene i valori della variabile dipendente.
b è un vettore di dimensione (k+1) per 1 che contiene i parametri dell'equazione di regressione
e è un vettore di dimensione N per 1 che contiene i punteggi dei soggetti nel termine di errore.
Nel calcolo, quando si ha X', vuol dire che bisogna fare la trasposta della matrice X, mentre quando si ha (X'X)^-1 vuol dire che bisogna fare l'inversa matrice di X'X.
Per calcolare i residui si usa la formula: e_i=Y_i-Y_i'
E' possibile ricavare i parametri dell'equazione di regressione con le formule alternative, usando i coefficienti standardizzati.

Coefficienti standardizzati:


Coefficienti non standardizzati:


Intercetta:


Dove:
-R_x^-1 è l'inversa della matrice di correlazione tra le variabili indipendenti.
-R_xy è il vettore delle correlazioni tra variabili indipendenti e variabile dipendente.
-s e s_x sono le deviazioni standard della variabile dipendente e delle variabili indipendenti.
-y¯ è la media della variabile dipendente.
-X¯ è il vettore delle medie delle variabili indipendenti.

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